Другой курс ▾
Занятие 2. Чтение результатов: среднее и разброс
Цель. Описать набор оценок класса через центр и разброс, нарисовать точечную диаграмму и сказать, что это значит для преподавания.
Среднее - удобный способ сказать многое одним числом, и в этом опасность. Среднее 12 из 20 может описывать спокойный класс, где все близки к 12, и расколотый класс, где половина внизу, а половина наверху. Ваш следующий урок в этих случаях был бы разным. На этом занятии три привычки: всегда называть центр вместе с разбросом, рисовать точечную диаграмму от руки и проверять необычные оценки, прежде чем им верить.
Ключевые идеи
Два вида среднего
- Среднее арифметическое - сумма всех оценок, делённая на число учеников. Медиана - средняя оценка, когда оценки выстроены по порядку.
- Среднее учитывает каждую оценку, поэтому одна очень низкая или очень высокая оценка тянет его. Медиана не зависит от того, как далеко крайние значения, поэтому устойчива.
- Если они сильно расходятся, поищите несколько необычных оценок, прежде чем что-то говорить о классе.
Разброс: что скрывает среднее
- Размах - наибольшая оценка минус наименьшая. Это простейшая мера разброса, калькулятор не нужен.
- У двух классов может быть одинаковое среднее, а преподавать им нужно по-разному. Все около 12 - одна ситуация; половина около 6, половина около 18 - другая.
- Поэтому всегда называйте вместе две вещи: центр (среднее или медиана) и разброс (размах).
Нарисуйте: точечная диаграмма
- Начертите линию возможных оценок. Для каждого ученика поставьте точку над его оценкой. Если оценки повторяются, ставьте точки столбиком.
- За две минуты видна форма: один горб, два горба, длинный хвост или одинокая точка далеко от остальных.
- Два горба часто означают две группы учеников (понявших и не понявших). Одно среднее этого не покажет.
Осторожное чтение чисел
- Прежде чем считать, очистите данные: отсутствующий ученик - не 0. Уберите его из расчёта и запишите, сколько человек исключено.
- Сравнивайте классы только если использовался один и тот же тест в сходных условиях. Среднее 12 на лёгком и 12 на трудном тесте - не одно и то же.
- Число описывает класс. Оно не описывает ни одного ребёнка и не говорит, почему оценки такие.
Два класса, одно среднее 12
Класс 8А
Один плотный горб
- Размах 6 (от 9 до 15)
- Один план подходит большинству
- Короткое усложнение для немногих
Класс 8Б
Разброс по всей шкале
- Размах 17 (от 3 до 20)
- Семеро с 9 и ниже
- Нужны задания по уровням
Почему диаграмма идёт раньше расчёта
Вычисление прячет форму, рисунок её показывает. Если сначала нарисовать диаграмму, сразу видно, образуют ли оценки один горб, два горба или длинный хвост, и тогда вы выбираете, какое число считать. Один горб: среднее или медиана хорошо описывают класс. Два горба: ни одно число никого не описывает, а полезный факт в том, что есть две группы. Длинный хвост слева: надёжнее медиана, потому что несколько очень низких оценок тянут среднее.
На класс из 25 человек уходит около двух минут, нужны линейка и ручка. Это могут делать и ученики: точечная диаграмма результатов самого класса - честный и безымянный способ показать, где находится класс.
Необычные оценки: ошибка, обстоятельство или потребность?
У оценки, далёкой от остальных, три возможных объяснения, и каждое ведёт к своему действию. Это может быть ошибка записи (2 вместо 12): исправьте. Это может быть обстоятельство (ученик болел, отсутствовал или писал позже): исключите из расчёта и запишите причину. Или это реальная потребность (ученик почти ничего не понял): это самая важная оценка в таблице, ей нужен разговор, а не удаление.
Порядок важен: сначала проверьте ошибку, затем спросите об обстоятельствах и только потом считайте это потребностью. Многие сразу переходят к потребности, а позже выясняется, что число было опечаткой.
Примеры из класса
Разминка, выровнявшая класс
Ситуация. Азиз, 7 класс в Ташкенте, получает среднее 14 из 20 по геометрии и доволен. Его диаграмма показывает 15 учеников на 15-19 и пятерых на 2-6. Эти пятеро - та самая группа, что сидит сзади. Следующий урок начинается с 10 минут наверстывания сзади, пока остальные берутся за более трудное задание.
Вывод. Хорошее среднее может скрывать небольшую группу в серьёзных затруднениях; диаграмма делает её видимой.
Ноль за пропущенную проверочную
Ситуация. У Малики, 5 класс в Самарканде, 9 оценок от 11 до 15 и один отсутствующий, записанный как 0. Среднее падает с 13,0 до 11,7, и она боится, что класс просел. Медиана остаётся 13. Она убирает 0, пишет рядом с таблицей «отсутствовал, 1 ученик» и успокаивается.
Вывод. Медиана устойчива к одной необычной оценке, и беглый взгляд на неё спасает от ложной тревоги.
Сравнение двух тестов
Ситуация. Дилноза даёт 8 классу в Фергане сентябрьский тест (среднее 9) и декабрьский (среднее 13) и объявляет большой прогресс. Коллега спрашивает, были ли тесты одинаково трудными. Нет: сентябрьский был длиннее и труднее. Она говорит «улучшение на другом тесте» и для честной картины сравнивает диаграммы и долю учеников выше 10 только по общим заданиям.
Вывод. Средние по разным тестам напрямую не сравниваются; сопоставляйте только сопоставимое.
Типичные ошибки
- Называть только среднее и считать класс «средним».
- Использовать среднее, когда одна-две крайние оценки уводят его от того места, где находится большинство.
- Удалять необычную оценку, не спросив, ошибка это, обстоятельство или реальная потребность.
- Сравнивать два класса или два теста разной трудности.
Два класса, одно среднее
- В парах (10 мин): в сборнике упражнений даны оценки (из 20) 20 учеников 8А и 20 учеников 8Б. Сложите каждый набор и найдите среднее (сумма делить на 20).
- В парах (10 мин): найдите медиану и размах каждого класса.
- Индивидуально (10 мин): нарисуйте обе точечные диаграммы на сетке. Отметьте горбы и одинокие точки.
- Группой (10 мин): на следующем уроке тема одна для обоих классов. Что вы сделаете одинаково, а что иначе в 8Б? Напишите два предложения. Затем разберите случай с отсутствующим учеником из сборника.
Фасилитатор проведёт вас через это задание на самом занятии.
Вопросы для обсуждения
- Средние почти одинаковы. Что показали точечные диаграммы такого, чего не показали средние?
- Когда медиана лучше среднего как «усреднённая» оценка?
- Какое решение по преподаванию вы приняли бы для 8Б, но не приняли бы для 8А?
Подумайте
- Какой мой класс выглядит «средним», но скрывает две очень разные группы?
- Сравнивал(а) ли я когда-нибудь два класса только по среднему?
- Что я сейчас делаю с оценкой ученика, который отсутствовал?
Попробуйте завтра
- Возьмите один недавний набор оценок, упорядочьте и нарисуйте диаграмму до любых вычислений.
- Запишите «центр X, разброс Y» для этого класса и одну вещь, которую это меняет на вашем следующем уроке.
- Найдите оценку, дальше всего отстоящую от остальных, и проверьте по порядку: ошибка, обстоятельство, потребность.
Дополнительные материалы и ссылки
Никогда не называйте среднее в одиночку: давайте центр и разброс и рисуйте точечную диаграмму.