Другой курс ▾
Занятие 3. Измерение, математика и модели в науке
Цель. Научить порядку хороших измерений (проверка, повтор, среднее, выбивающийся результат), превращать таблицы в графики и отношения, объясняющие закономерность, и работать с моделями, спрашивая, что они показывают и в чём ошибаются.
Ученики часто думают, что измерение либо верно, либо неверно. Настоящие измерения содержат небольшое сомнение, и умение сказать, сколько этого сомнения, — одна из самых полезных научных привычек. Модели такие же: это не копии мира, а полезные упрощения, которые можно проверить. Это занятие идёт дальше ключевых идей и показывает, как честно сравнить два результата, как сообщать честные числа и как использовать модели, которые ученики строят, проверяют и улучшают.
Ключевые идеи
Измеряйте хорошо: рутина, которой могут следовать ученики
- Проверьте прибор (занятие 1), читайте на уровне глаз до ближайшей отметки, каждый раз пишите единицу. Три шага становятся привычкой: измерить, повторить, сравнить.
- Уменьшайте ошибку засечки, засекая 10 колебаний или 10 прокатываний вместе и деля. Повторяйте каждое измерение три раза.
- Ищите выбивающийся результат. Спросите, что произошло, затем повторите опыт. Не стирайте значение только потому, что оно неудобно. Если причина найдена, отложите его с пометкой; иначе сообщите диапазон.
От чисел к смыслу: таблицы, графики и отношения
- В таблице в каждом заголовке указаны величина и единица, первым стоит то, что вы меняли, а средние в последнем столбце. На графике подписанные оси с равномерной шкалой, а точки отмечены до проведения любой линии.
- Спросите, что говорит форма. Прямая через ноль означает, что величины пропорциональны: деление одной на другую даёт каждый раз одно и то же число. Кривая означает другую зависимость.
- Наука снова и снова использует одни и те же математические инструменты: отношение и скорость (скорость = путь / время), среднее, перевод единиц (см в м), масштаб. Называйте инструмент, когда он появляется.
Учите математику тогда, когда она нужна
- Ученики, умеющие делить на математике, часто теряются, когда то же деление встречается в научной таблице. Покажите вслух один разобранный пример, затем дайте им сделать следующий.
- Договоритесь с учителем математики, как в школе записывают отношения, графики и единицы, чтобы ученики встречали одну запись (о межпредметных связях см. курс 8.8).
- Используйте шаблоны фраз: «Когда длина больше в ___ раз, время больше в ___ раз». Следите за обычными ловушками: смешанные единицы (см и м), знаки после запятой, ось с неравномерным пропуском.
Модели: используйте их и задавайте им вопросы
- Модель — упрощённая замена: предмет (бутылочное лёгкое), схема, аналогия (ток как вода), масштабная модель или уравнение. Она помогает объяснять и предсказывать.
- Каждая модель верна в одном и неверна в другом. Всегда задавайте три вопроса: что она показывает? В чём ошибается? Как её можно улучшить?
- Моделирование — цикл, как и проектирование: постройте модель, предскажите, проверьте на реальных данных, пересмотрите. Модель, не прошедшая проверку, — шаг вперёд.
От измерения к модели
Неопределённость простыми словами
У каждого прибора есть наименьший шаг, который он может показать. Линейка с миллиметровой шкалой не покажет десятую долю миллиметра, поэтому ученик, написавший 12,3472 см, придумал цифры. Учите: «пишите только то, что показывает прибор». Когда вы повторяете измерение, показания немного расходятся: этот разброс — честный диапазон, например от 14,1 до 14,3 с.
Сравнивайте по диапазонам. Если шарик одной группы катится от 2,2 до 2,6 с, а другой — от 2,5 до 2,9 с, диапазоны пересекаются, и группы пока не вправе утверждать реальную разницу. Если диапазоны далеко друг от друга, разница, вероятно, реальна. Это простое правило позволяет шестиклассникам спорить с данными и избегать выводов «моя группа победила».
Модели, которые оправдывают себя
Полезная модель делает прогноз, который можно проверить. Модель лёгкого предсказывает, что большее пространство пропускает воздух: проверьте, оттянув нижний шарик. Аналогия, например ток как вода в трубах, помогает понять течение по кругу, но вводит в заблуждение там, где труба может протекать. Просите учеников найти, где модель ломается, и улучшить её; это глубже, чем просто сказать «у моделей есть пределы».
Математика тоже даёт модели: числовая прямая, площадная модель умножения, масштаб на карте. Масштаб — это отношение: 1 см на бумаге на 2 м школьного двора. Пусть ученики построят модель, используют её для прогноза, проверят прогноз и пересмотрят модель. Этот цикл — то, что делают учёные и инженеры, и он связан с циклом проектирования из занятия 2.
Примеры из класса
Шарики действительно отличаются?
Ситуация. 8 класс Дилнозы в Самарканде засекает время качения шарика на 2 метра по двум поверхностям. У группы A получаются времена от 2,2 до 2,6 с, у группы B от 2,5 до 2,9 с. Сначала ученики говорят, что B медленнее. Дилноза просит нарисовать два диапазона на линии. Они пересекаются между 2,5 и 2,6 с, и класс решает повторить ещё 10 раз, прежде чем заявлять о разнице.
Вывод. Сравнение диапазонов не даёт ученикам утверждать разницу, которую данные не подтверждают.
Один сантиметр — два метра
Ситуация. 6 класс Азиза в Ташкенте измеряет школьный двор верёвкой: длина 40 метров. На доске 1 см будет означать 2 метра. Ученики находят, что двор на бумаге равен 20 см, для проверки переводят 40 м в 4000 см и рисуют. Один ученик проверяет длину шагами и получает 52 шага, значит шаг примерно 77 см.
Вывод. Масштаб — это отношение, а перевод единиц — та же математика в науке и в географии.
Аналогия с водопроводом ломается
Ситуация. Малика в Фергане объясняет 7 классу электрические цепи через аналогию с водопроводом: батарейка — насос, провод — труба. Ученикам нравится. Затем она спрашивает: «Что в вашей модели будет, если перерезать трубу?» Они говорят: вода польётся. «А в настоящем проводе?» Ничего не течёт и ничего не льётся. Они записывают две вещи, которые аналогия показывает, и одну, в которой она ошибается.
Вывод. Вопрос о том, где аналогия не работает, углубляет понимание и модели, и идеи.
Типичные ошибки
- Сообщать больше цифр, чем может показать прибор.
- Объявлять победителя, когда диапазоны двух групп пересекаются.
- Подавать модель как копию реальности, а не как инструмент с пределами.
- Считать, что ученики, умеющие работать с отношением на математике, применят его в науке без помощи.
Данные маятника, график и критика модели
- Откройте сборник упражнений: данные маятника для четырёх длин нити, по три опыта по 10 колебаний. Прочитайте таблицу и найдите странное значение (5 мин., в парах).
- В парах (10 мин.): решите, что делать со странным значением, затем вычислите для каждой длины среднее время 10 колебаний и время одного колебания (период).
- В парах (10 мин.): постройте на клетчатой бумаге график зависимости периода от длины. Проверьте делением, пропорциональны ли величины. Закончите шаблон фразы. Предскажите время 10 колебаний при 150 см.
- В группах (8 мин.): покритикуйте модель лёгкого из бутылки и шариков тремя вопросами о модели. Договоритесь об одном улучшении.
- Самостоятельно (7 мин.): запишите задание для класса из сборника.
Фасилитатор проведёт вас через это задание на самом занятии.
Вопросы для обсуждения
- Что вы решили насчёт странного значения и о чём хотели спросить учеников?
- Что говорит форма графика такого, чего не говорит таблица?
- Какой математический шаг будет самым трудным для ваших учеников и как вы его объясните?
Подумайте
- С какой математической идеей (отношение, среднее, единицы, график) ваши ученики больше всего мучаются в науке?
- Какую модель вы используете, которую ученики могут принять за настоящую вещь?
- С каким учителем математики вы могли бы согласовать запись?
Попробуйте завтра
- Попросите группы на следующем опыте сообщать диапазон, а не одно число.
- Дайте результаты двух групп и попросите учеников решить, реальна ли разница, нарисовав диапазоны.
- Один раз на следующем уроке с моделью спросите: «В чём ошибается наша модель?»
Дополнительные материалы и ссылки
Измеряйте по рутине, стройте график до вывода, называйте математический инструмент и спрашивайте у каждой модели, что она показывает и в чём ошибается.